高中数学知识点总结(最全版)

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高中数学知识点总结(最全版)

文章来源:    时间:2019-08-09

 

  必修 5:解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必需进修的。 上述实质掩盖了高中阶段古代的数学基本学问和根基身手的要紧片面,个中包罗聚合、函数、 数列、不等式、解三角形、 立体几何发轫、 平面解析几何发轫等。 分别的是正在保障打好基本的同时, 进一步夸大了这些学问的发作、开展流程和本质利用,而不正在本事与难度上做过高的央浼。 别的,基本实质还扩展了向量、算法、概率、统计等实质。 选修课程 有 4 个系列: 系列 1:由 2 个模块构成。 选修 1- 1:常用逻辑用语、圆锥弧线与方程、导数及其利用。 选修 1-2 :统计案例、推理与声明、数系的扩充与复数、框图 系列 2 :由 3 个模块构成。 选修 2- 1:常用逻辑用语、圆锥弧线与方程、 空间向量与立体几何。 选修 2-2 :导数及其利用,推理与声明、数系的扩充与复数 选修 2-3:计数道理、随机变量及其分散列,统计案例。 系列 3:由 6 个专题构成。 选修 3- 1:数学史选讲。 选修 3-2 :新闻安静与暗码。 选修 3-3:球面上的几何。 选修 3-4 :对称与群。 选修 3-5:欧拉公式与闭曲面分类。 选修 3-6:三均分角与数域扩充。 系列 4 :由 10 个专题构成。 选修 4- 1:几何声明选讲。 选修 4-2 :矩阵与变换。 选修 4-3:数列与差分。 选修 4-4 :坐标系与参数方程。 选修 4-5:不等式选讲。 选修 4-6:初等数论发轫。 选修 4-7:优选法与试验安排发轫。 选修 4-8:兼顾法与图论发轫。 选修 4-9:危险与计划。 选修 4- 10:开合电途与布尔代数。 2 .重难点及考点: 中心: 函数,数列,三角函数,平面向量,圆锥弧线,立体几何,导数 难点: 函数、圆锥弧线 高考干系考点: ⑴聚合与简单逻辑 : 聚合的观念与运算、简单逻辑、充要前提 ⑵函数:映照与函数、函数解析式与、值域与最值、反函数、三大性子、函数图象、指数与 指数函数、对数与对数函数、函数的利用 ⑶数列:数列的相合观念、等差数列、等比数列、数列乞降、数列的利用 ⑷三角函数:相合观念、同角相合与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、声明、三角函 数的图象与性子、三角函数的利用 ⑸平面向量:相合观念与初等运算、坐标运算、数目积及其利用 ⑹不等式:观念与性子、均值不等式、不等式的声明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应 用 ⑺直线和圆的方程:直线的方程、两直线的场所相合、线性计议、圆、直线与圆的场所相合 ⑻圆锥弧线方程:椭圆、双弧线、掷物线、直线与圆锥弧线的场所相合、轨迹题目、圆锥弧线的应 用 ⑼直线、平面、纯洁几何体:空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量 ⑽陈设、组合和概率:陈设、组合利用题、二项式定理及其利用 ⑾概率与统计:概率、分散列、渴望、方差、抽样、正态分散 ⑿导数:导数的观念、求导、导数的利用 ⒀复数:复数的观念与运算 高中数学 必修 1第一章 聚合与函数观念 〖1.1 〗聚合 【1.1.1 】聚合的寄义与透露 (1)聚合的观念 聚合中的元素具有确定性、互异性和无序性 . (2 )常用数集及其记法 N 透露自然数集, N 或 N 透露正整数集, Z 透露整数集, Q 透露有理数集, R 透露集 . (3 )聚合与元素间的相合 对象 a 与聚合 M 的相合是 a M ,或者 a M ,两者必居其一 . (4 )聚合的透露法 ①自然措辞法:用文字陈述的形态来描画聚合 . ②陈列法:把聚合中的元素逐一陈列出来,写正在大括号内透露聚合 . ③描画法: { x x 具有的性子 } ,个中 x 为聚合的代外元素 . ④图示法:用数轴或韦恩图来透露聚合 . (5 )聚合的分类 ①含有有限个元素的聚合叫做有限集 . ②含有无穷个元素的聚合叫做无穷集 . ③不含有任何元素的聚合叫做 空集 ( ). 【1.1.2 】聚合间的根基相合 (6 )、真子集、聚合相当 名称 暗号 意思 性子 示妄思 A B (1)A A 子集 (或 A 中的任一元素都 (2) A A(B) B A 属于 B (3)若 A B 且 B C ,则 A C B A ) (4)若 A B 且 B A ,则 A B 或 A B (1) A (A 为非空子集) A B ,且 B 中至 真子集 (或 少有一元素不属于 B A (2)若 A B且 B C ,则 A C A B A ) A 中的任一元素都 聚合 (1)A B A B 属于 B ,B 中的任 A(B) 相当 (2)B A 一元素都属于 A (7 )已知聚合 A 有 n(n 1) 个元素, 则它有 2 n 个子集, 它有 2n 1个线 非空线 】聚合的根基运算 (8 )交集、并集、补集 名称 暗号 意思 性子 示妄思 (1) A A A { x x A,且 A B (2) A 交集 A B (3) A B A x B} A B B (1) A A A { x x A, 或 A B (2) A A 并集 A B (3) A B A x B} A B B 1 A (e A) U { x x U ,且x A} 痧( A B ) ( A) ( B ) 补集 e A U U U U 痧( A B) ( A) ( B ) U U U 2 A (e A) U U 【添补学问】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 (1)含绝对值的不等式的解法 不等式 解集 x a(a 0) { x a x a} x a(a 0) x x a 或 x a} 把 ax b 看 成 一 个 整 体 , 化 成 x a , ax b c, ax b c(c 0) x a(a 0) 型不等式来求解 (2 )一元二次不等式的解法 判别式 2 0 0 0 b 4ac 二次函数 2 y ax bx c(a 0) O 的图象b b2 4ac x 2 1,2 2a b ax bx c 0(a 0) x1 x2 无实根 2 a 的根 (个中x x ) 1 2 2 ax bx c 0(a 0) b { x x x 或 x x } { x x } 1 2 R 2a 的解集 2 ax bx c 0(a 0) {x x x x } 1 2 的解集 〖1.2 〗函数及其透露 【1.2.1 】函数的观念 (1)函数的观念 ①设 A 、 B 是两个非空的数集,倘使遵循某种对应律例 f ,看待聚合 A 中任何一个数 x ,正在聚合 B 中都有 独一确定的数 f ( x) 和它对应, 那么云云的对应 (包罗聚合 A , B 以及 A 到 B 的对应律例 f )叫做聚合 A 到 B 的一个函数,记作 f : A B . ②函数的三因素 : 界说域、值域和对应律例. ③惟有界说域相似,且对应律例也相似的两个函数才是统一函数. (2 )区间的观念及透露法 ①设 a ,b 是两个实数,且 a b ,满意 a x b 的实数 x 的聚合叫做闭区间,记做 [ a ,b] ;满意 a x b 的 实数 x 的聚合叫做开区间,记做 (a,b) ;满意 a x b ,或 a x b 的实数 x 的聚合叫做半开半闭区间, 分 别 记 做 [a b, ), (a, b] ; 满 足 x a, x , a x , b 的x 实b数 x 的 集 合 分 别 记 做 [ a , ) a, ( , ) b, ( ,.b 细心: 看待聚合 { x a x b} 与区间 ( a,b) ,前者 a 可能大于或等于 b ,尔后者必需 a b ,(前者可能不建设,为空集;尔后者必需建设) . (3 )求函数的界说域时,通常依照以下准则: ① f (x) 是整式时,界说域是所有实数. ② f (x) 是分式函数时,界说域是使分母不为零的整个实数. ③ f (x) 是偶次根式时,界说域是使被开格式为非负值时的实数的聚合. ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于 1. ⑤ y tan x 中, x k (k Z ) . 2 ⑥零(负)指数幂的底数不行为零. ⑦若 f (x ) 是由有限个根基初等函数的四则运算而合成的函数时,则其界说域通常是各根基初等函数的界说 域的交集. ⑧看待求复合函数界说域题目,通常举措是:若已知 f (x ) 的界说域为 [ a, b] ,其复合函数 f [ g (x)] 的界说域 应由不等式 a g (x) b 解出. ⑨看待含字母参数的函数,求其界说域,凭据题目简直境况需对字母参数举办分类接洽. ⑩由本质题目确定的函数,其界说域除使函数有心义外,还要适应题目的本质意思. (4 )求函数的值域或最值 求函数最值的常用本领和求函数值域的本领根基上是相似的.底细上,倘使正在函数的值域中存正在一个最小 (大)数,这个数即是函数的最小(大)值.以是求函数的最值与值域,其本质是相似的,只是提问的角度 分别.求函数值域与最值的常用本领: ①巡视法:看待较量纯洁的函数,咱们可能通过巡视直接获得值域或最值. ②配本领: 将函数解析式化成含有自变量的平格式与常数的和, 然后凭据变量的取值限制确定函数的值域或 最值. ③判别式法: 若函数 y f (x) 可能化成一个系数含有 y 的合于 x 的二次方程 a( y) x2 b( y) x c(y ) 0 ,则 2 正在 a( y) 0 时,因为 x, y 为实数,故必需有 b (y) 4a( y) c( y) 0 ,从而确定函数的值域或最值. ④不等式法:操纵根基不等式确定函数的值域或最值. ⑤换元法:通过变量代换抵达化繁为简、化难为易的目标,三角代换可将代数函数的最值题目转化为三角函 数的最值题目. ⑥反函数法:操纵函数和它的反函数的界说域与值域的互逆相合确定函数的值域或最值. ⑦数形维系法:操纵函数图象或几何本领确定函数的值域或最值. ⑧函数的贫乏性法. 【1.2.2 】函数的透露法 (5 )函数的透露本领 透露函数的本领,常用的有解析法、列外法、图象法三种. 解析法:即是用数学外达式透露两个变量之间的对应相合.列外法:即是列出外格来透露两个变量之间的对 应相合.图象法:即是用图象透露两个变量之间的对应相合. (6 )映照的观念 ①设 A 、 B 是两个聚合,倘使遵循某种对应律例 f ,看待聚合 A 中任何一个元素,正在聚合 B 中都有独一的 元素和它对应,那么云云的对应(包罗聚合 A , B 以及 A 到 B 的对应律例 f )叫做聚合 A 到 B 的映照,记 作 f : A B . ②给定一个聚合 A 到聚合 B 的映照,且 a A,b B .倘使元素 a 和元素 b 对应,那么咱们把元素 b 叫做元 素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象. 〖1.3 〗函数的根基性子 【1.3.1 】贫乏性与最大(小)值 (1)函数的贫乏性 ①界说及占定本领 函数的 界说 图象 占定本领 性 质 倘使看待属于界说域 I 内 (1)操纵界说 某个区间上的大肆两个 y y=f(X) (2 )操纵已知函数 f(x ) 自变量的值 x 1、x2 , 当 x1f(x 2) , 2 . . . f(x ) . ......... (正在某个区间图 那么就说 f(x) 正在这个区 o x 1 x 2 x 象降落为减) 间上是 减函数 . ... (4 )操纵复合函数 ②正在大家界说域内, 两个增函数的和是增函数, 两个减函数的和是减函数, 增函数减去一个减函数为增函数, 减函数减去一个增函数为减函数. ③看待复合函数 y f [ g (x)] ,令 u g (x) ,若 y f (u) 为增, u g ( x) 为增,则 y f [ g ( x)] 为增;若 y f (u) 为减, u g( x) 为减, 则 y f [ g (x)] 为增; 若 y f (u) 为增, u g (x) 为减, 则 y f [ g (x)] 为 减;若 y f (u) 为减, u g ( x) 为增,则 y f [ g (x)] 为减. a (2 )打“√”函数 f (x) x (a 0) 的图象与性子 y x f (x) 差别正在 ( , a ] 、 [ a , ) 上为增函数,差别正在 [ a,0) 、 (0, a ] 上为减函数. (3 )最大(小)值界说 ①通常地,设函数 y f (x) 的界说域为 I ,倘使存正在实数 M o x 满意: (1)看待大肆的 x I ,都有 f ( x) M ; (2 )存正在 x I ,使得 f (x ) M .那么,咱们称 M 是函数 f (x ) 的最大值,记作 f (x) M . 0 0 max ②通常地,设函数 y f (x) 的界说域为 I ,倘使存正在实数 m满意: (1)看待大肆的 x I ,都有 f (x) m ; (2 )存正在 x I ,使得 f (x ) m .那么,咱们称 m是函数 f (x ) 的最小值,记作 f (x) m . 0 0 max 【1.3.2 】奇偶性 (4 )函数的奇偶性 ①界说及占定本领 函数的 界说 图象 占定本领 性 质 倘使看待函数 f(x) 界说 (1)操纵界说(要 域内大肆一个 x ,都有 先决断界说域是否 f( -x)= -f(x) ,那么函数 合于原点对称) ........... f(x) 叫做 奇函数 . (2 )操纵图象(图 ... 象合于原点对称) 函数的 奇偶性 倘使看待函数 f(x) 界说 (1)操纵界说(要 域内大肆一个 x ,都有 先决断界说域是否 f( - x)= f(x) , 那 么 函 数 合于原点对称) ... ....... f(x) 叫做 偶函数 . (2 )操纵图象(图 ... 象合于 y 轴对称) ②若函数 f (x ) 为奇函数,且正在 x 0 处有界说,则 f (0) 0 . ③奇函数正在 y 轴两侧相对称的区间增减性相似,偶函数正在 y 轴两侧相对称的区间增减性相反. ④正在大家界说域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数) ,两个偶函数(或奇函 数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数. 〖添补学问〗函数的图象 (1)作图 操纵描点法作图: ①确定函数的界说域; ②化解函数解析式; ③接洽函数的性子(奇偶性、贫乏性) ; ④画出函数的图象. 操纵根基函数图象的变换作图: 要精确影象一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等种种根基初等函 数的图象. ①平移变换 h 0,左移 h个单元 k 0,上移 k个单元 y f (x) 右移 个单元 y f (x h) y f (x) 下移 个单元 y f (x ) k h 0, h k 0, k ②伸缩变换 0 1,伸 y f (x) 缩 y f ( x) 1, 0 A 1,缩 y f (x) 伸 y Af (x) A 1, ③对称变换 x轴 y轴 ( ) ( ) y f (x) y f (x ) y f x y f x 原点 直线 y f (x) y f ( x) y f (x ) y f (x ) 去掉 轴左边图象 y f (x) y y f ( x ) 保存 轴右边图象,并作其合于 轴对称图象 y y 保存 轴上方图象 x y f (x) 将 轴下方图象翻折上去 y f (x) x (2 )识图 看待给定函数的图象,要能从图象的摆布、上下差别限制、转变趋向、对称性等方面咨议函数的界说域、值 域、贫乏性、奇偶性,细心图象与函数解析式中参数的相合. (3 )用图 函数图象情景地显示了函数的性子,为咨议数目相合题目供应了“形”的直观性,它是研讨解题途径,得到 题目结果的紧要器材.要珍视数形维系解题的思思本领. 第二章 根基初等函数 ( Ⅰ) 〖2.1 〗指数函数 【2.1.1 】指数与指数幂的运算 (1)根式的观念 ①倘使 n , , , 1 x a a R x R n ,且 n N ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n是奇数时, a 的 n 次方根 用符号 n a 透露;当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 透露,负的 n 次方根用符号 n a 透露; 0 的 n 次方根是 0;负数 a 没有 n 次方根. ②式子 n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.当 n 为奇数时, a 为大肆实数;当 n 为偶数 时, a 0 . n n n n n n a (a 0) ③根式的性子: ( a ) a ;当 n 为奇数时, a a ;当 n 为偶数时, a a . a (a 0) (2 )分数指数幂的观念 m n m ①正数的正分数指数幂的意思是: n ( 0, , , 且 n 1) .0 的正分数指数幂等于 0 . a a a m n N m m 1 1 m ②正数的负分数指数幂的意思是: a n ( ) n n ( ) (a 0, m, n N , 且 n 1) .0 的负分数指数幂 a a 没有心义. 细心口诀: 底数取倒数,指数取相反数. (3 )分数指数幂的运算性子 ① r s r s ( 0, , ) r s rs a a a a r s R ② (a ) a (a 0,r ,s R) ③ ( )r r r ( 0, 0, ) ab a b a b r R 【2.1.2 】指数函数及其性子 (4 )指数函数 函数名称 指数函数 界说 函数 y ax (a 0 且 a 1) 叫做指数函数 y y a x y a x y a 1 0 a 1 图象 界说域 R 值域 (0, ) 过定点 图象过定点 (0,1) ,即当 x 0 时, y 1 . 奇偶性 非奇非偶 贫乏性 正在 R 上是增函数 正在 R上是减函数 x x a 1 ( x 0) a 1 (x 0) 函数值的 x x a 1 ( x 0) a 1 (x 0) 转变境况 x x a 1 (x 0) a 1 (x 0) a 转变对 图象的影响 正在第一象限内, a 越大图象越高;正在第二象限内, a 越大图象越低. 〖2.2 〗对数函数 【2.2.1 】对数与对数运算 (1)对数的界说 ①若 x ( 0, 1) a N a 且a ,则 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x loga N ,个中 a 叫做底数, N 叫做真数. ②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化: log x ( 0, 1, 0) . x N a N a a N a (2 )几个紧要的对数恒等式 b loga 1 0 ,365bet体育官网,www.567365.tv,365bet567365.tv 365bet567365.tv www.567365.tv loga a 1, log a a b . (3 )常用对数与自然对数 常用对数: lg N ,即 log10 N ;自然对数: ln N ,即 log e N (个中e 2.71828 , ) . (4 )对数的运算性子 倘使 a 0, a 1,M 0, N 0 ,那么 M ①加法: loga M loga N loga (MN ) ②减法: log a M log a N log a N ③数乘: nlog a M log a M n (n R) ④ a log a N N n n log b N ⑤ log ab M log a M (b 0, n R) ⑥换底公式: log a N (b 0, 且 b 1) b log b a 【2.2.2 】对数函数及其性子 (5 )对数函数 函数 对数函数 名称 函数 log ( 0 界说 y a x a 且 a 1) 叫做对数函数 a 1 0 a 1 x 1 x 1 y y log x y y log x a a 图象 (1,0) O (1,0) x O x 界说域 (0, ) 值域 R 过定点 图象过定点 (1,0) ,即当 x 1 时, y 0 . 奇偶性 非奇非偶 贫乏性 正在 (0, ) 上是增函数 正在 (0, ) 上是减函数 log a x 0 (x 1) log a x 0 (x 1) 函数值的 log a x 0 (x 1) log a x 0 (x 1) 转变境况 log a x 0 (0 x 1) log a x 0 (0 x 1) a 转变对 图象的影响 正在第一象限内, a 越大图象越靠低;正在第四象限内, a 越大图象越靠高. (6) 反函数的观念 设函数 y f ( x) 的界说域为 A ,值域为 C ,从式子 y f (x) 中解出 x ,得式子 x ( y) .倘使看待 y 正在 C 中的任何一个值, 通过式子 x (y) ,x 正在 A 中都有独一确定的值和它对应, 那么式子 x ( y) 透露 x 是 y 的函数,函数 x ( y) 叫做函数 y f (x) 的反函数,记作 x f 1 (y ) ,民俗上改写成 y f 1( x) . (7)反函数的求法 1 ①确定反函数的界说域,即原函数的值域;②从原函数式 y f (x) 中反解出 x f ( y ) ; ③将 x f 1 ( y ) 改写成 y f 1 (x ) ,并评释反函数的界说域. (8 )反函数的性子

  1 ①原函数 y f (x) 与反函数 y f (x) 的图象合于直线 y x 对称. ②函数 y f (x ) 的界说域、值域差别是其反函数 y f 1 (x) 的值域、界说域. 1 ③若 P(a,b) 正在原函数 y f (x) 的图象上,则 P (b,a)正在反函数 y f (x) 的图象上. ④通常地,函数 y f (x) 要有反函数则它必需为贫乏函数. 〖2.3 〗幂函数 (1)幂函数的界说 通常地,函数 y x 叫做幂函数,个中 x 为自变量, 是常数 (2 )幂函数的图象 (3 )幂函数的性子 ① 图象分散:幂函数图象分散正在第一、二、三象限,第四象限无图象 .幂函数是偶函数时,图象分散正在第一、二 象限 ( 图象合于 y 轴对称 );是奇函数时,图象分散正在第一、三象限 ( 图象合于原点对称 );口角奇非偶函数时,图 象只分散正在第一象限 . ②过定点:整个的幂函数正在 (0, ) 都有界说,而且图象都通过点 (1,1) . ③贫乏性:倘使 0 ,则幂函数的图象过原点,而且正在 [0, ) 上为增函数.倘使 0 ,则幂函数的图象正在 (0, ) 上为减函数,正在第一象限内,图象无穷靠拢 x 轴与 y 轴. q ④奇偶性:当 为奇数时,幂函数为奇函数,当 为偶数时,幂函数为偶函数.当 (个中 p,q 互质, p p q q 和 q Z ),若 p 为奇数 q 为奇数时, 则 y x p 是奇函数, 若 p 为奇数 q 为偶数时, 则 y x p 是偶函数, 若 p 为 q 偶数 q 为奇数时,则 y x p 口角奇非偶函数. ⑤图象特色:幂函数 y x ,x (0, ) ,当 1 时,若 0 x 1,其图象正在直线 y x 下方,若 x 1 ,其图 象正在直线,其图象正在直线 y x 上方,若 x 1 ,其图象正在直线 y x 下方. 〖添补学问〗二次函数 (1)二次函数解析式的三种形态 ①通常式: f (x) ax2 bx c(a 0) ②极点式: f ( x) a( x h)2 k (a 0) ③两根式: f (x) a(x x )(x x )(a 0) (2 )求二次函数解析式的本领 1 2 ①已知三个点坐标时,宜用通常式. ②已知掷物线的极点坐标或与对称轴相合或与最大(小)值相合时,常操纵极点式. ③若已知掷物线与 x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求 f (x) 更简单. (3 )二次函数图象的性子 2 b ①二次函数 f (x) ax bx c(a 0) 的图象是一条掷物线,对称轴方程为 x , 极点坐标是 2 a 2 b 4 ac b ( , ) . 2a 4 a b b b ②当 a 0 时,掷物线启齿向上,函数正在 ( , ] 上递减,正在 [ , ) 上递增,当 x 时, 2a 2a 2a 2 4ac b b b b fmin (x ) ;当 a 0 时,掷物线启齿向下, 函数正在 ( , ] 上递增,正在 [ , ) 上递减,当 x 4a 2 a 2 a 2 a 2 4ac b 时, f max (x) . 4a 2 2 ③二次函数 f (x) ax bx c(a 0) 当 b 4ac 0 时,图象与 x 轴有两个交点 M (x ,0),M (x ,0),M M x x . 1 1 2 2 1 2 1 2 a (4 )一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 根的分散 一元二次方程根的分散是二次函数中的紧要实质,这片面学问正在初中代数中虽有所涉及,但尚不敷体系 和完全,且治理的本领侧重于二次方程根的判别式和根与系数相合定理(韦达定理)的利用,下面维系二次 函数图象的性子,体系地来分解一元二次方程实根的分散. 2 2 设一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两实根为 x , x ,且 x x .令 f (x) ax bx c ,从以下四个 1 2 1 2 b 方面来分解此类题目:①启齿倾向: a ②对称轴场所: x ③判别式: ④端点函数值符号. 2 a 1 2 ① k

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